Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²-bx滿足：①f（2）=0，②關(guān)于x的方程f（x）=x有兩個相等的實數(shù)根．求：
（1）函數(shù)f（x）的解析式；
（2）函數(shù)f（x）在[0，3]上的最大值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知，利用待定系數(shù)法求a，b；
（2）由（1）可知函數(shù)在[0，3]的單調(diào)性，然后求最值．

解答： 解：（1）由①得2a-b=0，
由②關(guān)于x的方程f（x）=x有兩個相等的實數(shù)根得△=（b+1）²=0，得b=-1，a=-

1

2

；
所以 函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=-

1

2

x2+x；
（2）由（1）得，f（x）的對稱軸為x=1，
所以f（x）在[0，1]上遞增，在[1，3]遞減，
所以f（x）在[0，3]上的最大值為f（1）=0.5．

點評：本題考查了二次函數(shù)的系數(shù)求法以及閉區(qū)間上的最值求法；明確二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系是求二次函數(shù)閉區(qū)間上最值的關(guān)鍵．