Question

如圖，ABCD為直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=1，AD=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．
（1）求點(diǎn)P到CD的距離；
（2）求證：平面PAC⊥平面PCD；
（3）求平面PAB與平面PCD所成二面角的大小．

Answer 1

分析：方法一：
（1）借助于三垂線定理先照出或作出垂線段，由已知，PA⊥平面ABCD，考慮是否AC⊥CD．可以證出AC⊥CD，所以P到CD的距離為PC．
（2）要證平面PAC⊥平面PCD；可通過(guò)證明CD⊥平面PAC而證得．
（3）延長(zhǎng)DC交AB的延長(zhǎng)線于G，連結(jié)PG．易證DA⊥平面PAB，
過(guò)A作AH⊥PG，垂足為H，連結(jié)DH，得到∠AHD為所求二面角的平面角．
方法二
（1）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)

PC

•

CD

=-1+1=0得出PC⊥CD
即P到CD的距離為|

PC

|．
（2）要證平面PAC⊥平面PCD；可通過(guò)證明CD⊥平面PAC而證得．
（3）分別求得平面PAB與平面PCD的一個(gè)法向量，通過(guò)兩法向量夾角求出平面PAB與平面PCD所成二面角的大小

解答：解：（方法一）
（1）、取AD的中點(diǎn)F，連結(jié)CF．
易證四邊形ABCF是正方形，
∴CF=AB=1又∵AD=2
∴CF=

1

2

AD∴∠ACD=90°
即AC⊥CD，∵PA⊥平面ABCD，∴PC⊥CD，
∴P到CD的距離為PC，PC=

3

．
（2）∵AC⊥CD，PC⊥CD且AC∩PC=C，
∴CD⊥平面PAC．
又∵CD⊆平面PCD，
∴平面PAC⊥平面PCD．
（3）延長(zhǎng)DC交AB的延長(zhǎng)線于G，連結(jié)PG．
∴平面PAB∩平面PCD=PG，
易證DA⊥平面PAB．
過(guò)A作AH⊥PG，垂足為H，連結(jié)DH，
得到∠AHD為所求二面角的平面角．AH=

2

5

5

，tan∠AHD=

AD

AH

=

5

，
∴∠AHD=arctan

5

．
∴平面PAB與平面PCD所成二面角為arctan

5

．
（方法二）
（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
得到D（0，2，0），P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，1，0）

PC

=(1，1，-1)，

CD

=(-1，1，0)．
∴

PC

•

CD

=-1+1=0，∴PC⊥CD．
即P到CD的距離為|

PC

|，
∴|

PC

|=

3

（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
又∵PC⊥CD，PC∩PA=P，∴CD⊥平面PAC．
又CD⊆平面PCD，∴平面PAC⊥平面PCD．
（3）平面PAB的一個(gè)法向量為

AD

=(0，2，0)．
設(shè)

n

=(c，a，b)為平面PCD的法向量，則

n

•

PC

=0，

n

•

CD

=0．
得到

c+a-b=0 -c+a=0

，解得

a=c b=2c

．
不妨設(shè)c=1，∴

n

=(1，1，2)cos＜

AD

，

n

＞=

AD • n

| AD |•| n |

=

2

2× 6

=

6

6

．
∴平面PAB與平面PCD所成二面角的大小為arccos

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷，二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力．利用向量這一工具，解決空間幾何體問題，能夠降低思維難度．