Question

在下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）=x³-3x+1的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（　　）

A．（1，2）

B．（2，3）

C．（3，4）

D．（4，5）

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)，再分別求出f（1）、f（2）、f（3）、f（4）、f（5）的值，并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，不難得到本題的答案．

解答：解：∵f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）
∴當(dāng)x＜-1或x＞1時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0
可得函數(shù)在區(qū)間（-∞，-1）和（1，+∞）上為增函數(shù)；在區(qū)間（-1，1）上是減函數(shù)
函數(shù)的極大值f（-1）=-1+3+1=3＞0，極小值f（1）=1-3+1=-1＜0，
∴函數(shù)在區(qū)間（-∞，-1）、（-1，1）、（1，+∞）上各有一個(gè)零點(diǎn)
∵f（1）=-1＜0，f（2）=8-6+1=3＞0，f（3）＞0、f（4）＞0且f（5）＞0
∴函數(shù)在（1，2）上有一個(gè)零點(diǎn)，而在（2，3）、（3，4）、（4，5）上均沒有零點(diǎn)
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題給出三次多項(xiàng)式函數(shù)，求它的一個(gè)含有零點(diǎn)的區(qū)間，著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)的定義及其存在性討論等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．