Question

已知y²=4a（x-a），（a＞0），則u=（x-3）²+y²的最小值為

 

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Answer 1

考點：基本不等式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：把y²=4a（x-a），（a＞0，x≥a），代入u=（x-3）²+y²=[x-（3-2a）]²+12a-8a²，其對稱軸為x=3-2a，通過對a于3-2a的大小討論，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵y²=4a（x-a），（a＞0，x≥a），
∴u=（x-3）²+y²
=x²-6x+9+4ax-4a²
=[x-（3-2a）]²+12a-8a²，
其對稱軸為x=3-2a，頂點坐標為（3-2a，12a-8a²）．
若3-2a≥a＞0，即0＜a≤1時，有x=3-2a時，u取得最小值12a-8a²．
若3-2a＜a，即a＞1時，u在x∈[a，+∞）單調(diào)遞增，∴當x=a時，u取得最小值a²-6a+9．
綜上可得：u_min=

12a-8a2，當0＜a≤1時 a2-6a+9，當a＞1時

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故答案為：u_min=

12a-8a2，當0＜a≤1時 a2-6a+9，當a＞1時

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點評：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、分類討論的思想方法，考查了推理能力，屬于難題．