Question

已知f（x）=log

1

3

x2+px+q

x2+mx+1

．是否存在實數(shù)p、q、m，使f（x）同時滿足下列三個條件：
①定義域為R的奇函數(shù)；
②在[1，+∞）上是減函數(shù)；
③最小值是-1．若存在，求出p、q、m；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：先利用奇函數(shù)的定義得q=1，且p=-m≠0，再利用復合函數(shù)法，結合已知函數(shù)的單調區(qū)間判斷m＞0，從而確定函數(shù)f（x）的單調區(qū)間，最后結合單調性與已知的最小值，推測只能當x=-1時函數(shù)f（x）取最小值-1，從而解得m的值，進而得p、q、m的值

解答：解：∵f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，
∴f（0）=0 即log

1

3

q=0，得q=1
又f（-x）=-f（x）
∴log

1

3

x2-px+1

x2-mx+1

=-log

1

3

x2+px+1

x2+mx+1

，
∴

x2+1-px

x2+1-mx

=

x2+1+mx

x2+1+px

，
即（x²+1）²-p²x²=（x²+1）²-m²x²
∴p²=m²
若p=m，則f（x）=0，不合題意．故p=-m≠0
∴f（x）=log

1

3

x2-mx+1

x2+mx+1

由f（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)，
x≠0時，令g（x）=

x2-mx+1

x2+mx+1

=1-

2mx

x2+mx+1

=1-

2m

x+ 1 x +m

∵x+

1

x

在[1，+∞）上遞增，在（-∞，-1）也遞增，只有m＞0時，在[1，+∞）上g（x）遞增，從而f（x）遞減．
即m＞0時函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上為減函數(shù)，在（-1，0）上為增函數(shù)，在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)
∴x=-1時，x+

1

x

在（-∞，-1]上取得最大值-2，此時由f（x）的最小值為-1得g（x）的最大值為3．
∴1-

2m

m-2

=3    得m=1，從而p=-1
綜上可知，存在p=-1，q=1，m=1．

點評：本題考查了奇函數(shù)的定義及其應用，復合函數(shù)法判斷函數(shù)的單調性，并利用單調性求函數(shù)最值的方法，邏輯推理能力和運算能力