Question

已知橢圓C的離心率e=，長軸的左右端點(diǎn)分別為A₁（-2，0），A₂（2，0）．
（I）求橢圓C的方程；
（II）設(shè)直線x=my+1與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線A₁P與A₂Q交于點(diǎn)S，試問：當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)橢圓C的方程為，由，知，b²=1，由此能求出橢圓C的方程．
（II）取m=0，得P（1，），Q（1，-），直線A₁P的方程是，直線A₁P的方程是，直線A₂Q的方程為是交點(diǎn)為．若，由對(duì)稱性可知，若點(diǎn)S在同一條直線上，由直線只能為l：x=4．
解答：解：（I）設(shè)橢圓C的方程為，
∵，∴，b²=1，
∴橢圓C的方程為．
（II）取m=0，得P（1，），Q（1，-），
直線A₁P的方程是，
直線A₁P的方程是，直線A₂Q的方程為是交點(diǎn)為．
若，由對(duì)稱性可知，
若點(diǎn)S在同一條直線上，由直線只能為l：x=4．
以下證明對(duì)于任意的m，直線A₁P與A₂Q的交點(diǎn)S均在直線l：x=4上，
事實(shí)上，由，
得（my+1）²+4y²=4，即（m²+4）y²+2my-3=0，
記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則，
記A₁P與l交于點(diǎn)S（4，y），
由，得，
設(shè)A₂Q與l交于點(diǎn)S‘（4，y′），
由，得，
∵
=
=
=，
∴y=y′，即S與S‘重合，
這說明，當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S恒在定直線l：x=4上．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)變換．注意對(duì)稱性的合理運(yùn)用．