已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c和一次函數(shù)g(x)＝－bx，其中a、b、c滿足

(1)求證：兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)A、B；

(2)求證：方程f(x)＝g(x)的兩根都小于2；

(3)由(1)知兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)A、B，求線段AB在x軸上的射影A1B1的長(zhǎng)的取值范圍．

答案：
解析：

　　(1)證明由消去y得ax2＋2bx＋c＝0

　　Δ＝4b2－4ac＝4(－a－c)2－4ac＝4(a2＋ac＋c2)

　　∵a＋b＋c＝0，a＞b＞c，∴a＞0，c＜0

　　∴Δ＞0，即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)　4分

　　(2)由(1)知方程有兩根，

　　即

　　令

　　

　　函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為

　　所以方程的兩根均小于2，即的兩根均小于2．　8分

　　(3)解設(shè)方程ax2＋bx＋c＝0的兩根為和，則

　　|A1B1|2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2

　　

　　

　　∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，a＞0，c＜0

　　∴a＞－a－c＞c，解得

　　∵的對(duì)稱軸方程是，時(shí)，為減函數(shù)

　　∴|A1B1|2∈(3，12)，故|A1B1|∈()　12分


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+
1
2
滿足f（1+x）=f（1-x）且方程f(x)=
5
2
-x有等根
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）若f（x）在定義域（-1，t]上的值域?yàn)椋?1，1]，求t的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m、n（m＜n），使f（x）定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，若存在，求出m、n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，函數(shù)y=f(x)+
2
3
x-1的圖象過(guò)原點(diǎn)且關(guān)于y軸對(duì)稱，記函數(shù) h(x)=
x
f(x)．
（I）求b，c的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=
1
10
時(shí)，求函數(shù)y=h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）試討論函數(shù) y=h（x）的圖象上垂直于y軸的切線的存在情況．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

（1）f（x）為偶函數(shù)，試判斷g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有兩個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng)a＞0時(shí)判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）若方程g（x）=x的兩實(shí)根為x1，x2f（x）=0的兩根為x3，x4，求使x3＜x1＜x2＜x4成立的a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=
-x2-x+2
的定義域?yàn)锳，若對(duì)任意的x∈A，不等式x2-4x+k≥0成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

（1）f（x）為偶函數(shù)，試判斷g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有兩個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng)a＞0時(shí)判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）當(dāng)b=2a時(shí)，問(wèn)是否存在x的值，使?jié)M足-1≤a≤1且a≠0的任意實(shí)數(shù)a，不等式f（x）＜4恒成立？并說(shuō)明理由．

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