Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在x=-1處取得極值，求a的值；
（2）在滿足（1）的條件下，探究函數(shù)f（x）零點的個數(shù)；如果有零點，請指出每個零點處于哪兩個連續(xù)整數(shù)之間，并說明理由；
（3）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數(shù)f（x）的導函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)f（x）在x=-1處取得極值得到f'（-1）=0，解方程即可；
（2）先求出f′（x）=0的值，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導數(shù)的符號的變化情況，來確定極值，發(fā)現(xiàn)極值都大于零，從而函數(shù)f（x）有零點且只有一個，又函數(shù)f（x）在[-2，-1]上連續(xù)，且f（-1）=1＞0，f（-2）=-1＜0，所以函數(shù)f（x）的零點介于-2和-1之間．
（3）討論a的值，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間即可．
解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+1
因為函數(shù)f（x）在x=-1處取得極值所以f'（-1）=0
解得a=2
（2）由（1）知f（x）=x³+2x²+x+1f'（x）=3x²+4x+1
令f'（x）=3x²+4x+1=0解得

從上表可以看出，
所以函數(shù)f（x）有零點且只有一個
又函數(shù)f（x）在[-2，-1]上連續(xù)，且f（-1）=1＞0，f（-2）=-1＜0，所以函數(shù)f（x）的零點介于-2和-1之間．
（3）f'（x）=3x²+2ax+1△=4a²-12=4（a²-3）
當a²≤3，即時，△≤0，f'（x）≥0，所以函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)
當a²＞3，即時，△＞0，解f'（x）=0得兩根為，（顯然x₁＜x₂）
當x∈（-∞，x₁）時f'（x）＞0；x∈（x₁，x₂）時f'（x）＜0；x∈（x₂，+∞）時f'（x）＞0
所以函數(shù)f（x）在，上是增函數(shù)；
在上是減函數(shù)
綜上：當時，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
當時，函數(shù)f（x）在，上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的零點和函數(shù)在某點取得極值的條件，屬于基礎題．