Question

設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，點P（a_n，S_n）在直線y=2x-2上（n∈N⁺）。
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求使T_n>2011的n的最小值；
（3）設(shè)正數(shù)數(shù)列{c_n}滿足log₂a_n+1=（c_n）ⁿ⁺¹，求數(shù)列{c_n}中的最大項。

Answer 1

解：（1）依題意得S_n=2a_n-2，則n≥2時

∴n≥2時

即
又n=1時，a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2ⁿ。
（2）依題意

∴
由T_n>2011，得

n≤1006（n∈N*）時

當(dāng)n≥ 1007 （n∈N*）時

因此n的最小值為1007。
（3）由已知得，即（n+1）lnc_n=ln（n+1），
∴
令
則
當(dāng)x≥3時，lnx>1，即f'（x）＜0
∴f（x）在[3，+∞）上為遞減函數(shù)
∴n≥2時，{lnc_n}是遞減數(shù)列，即{c_n}是遞減數(shù)列，
c₂>c₃>c₄>…>c_n
∴c₁＜c₂>c₃
∴c₂為數(shù)列{c_n}中最大項。