Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若|PF₁|+|PF₂|=6a，且△PF₁F₂的最小內(nèi)角為30°，則C的漸近線方程為

 

．

Answer 1

分析：如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上．由雙曲線定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，又|PF₁|+|PF₂|=6a，聯(lián)立解得

|PF1|=4a |PF2|=2a

．由于4a＞2a，|F₁F₂|=2c＞2a．可知∠PF₁F₂是最小角，因此∠PF1F2=30°．由余弦定理可得：|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos30°，化為c2-2

3

ac+3a2=0，解得e=

3

．再利用

3

=

c

a

=

1+ b2 a2

，解得

b

a

即可．

解答：解：如圖所示，
不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上．
則|PF₁|-|PF₂|=2a，又|PF₁|+|PF₂|=6a，
聯(lián)立解得

|PF1|=4a |PF2|=2a

．
∵4a＞2a，|F₁F₂|=2c＞2a．
∴∠PF₁F₂是最小角，因此∠PF1F2=30°．
由余弦定理可得：|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos30°，
∴（2a）²=（4a）²+（2c）²-2×2c•cos30°，
化為c2-2

3

ac+3a2=0，
∴e2-2

3

e+3=0，
解得e=

3

．
∴

3

=

c

a

=

1+ b2 a2

，
解得

b

a

=

2

．
∴漸近線方程為y=±

2

x．
故答案為：y=±

2

x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、余弦定理、三角形的邊角大小關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．