設(shè)函數(shù)f（x）對任意x，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時f（x）＜0，f（1）=-1
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)
（2）判斷f（x）的單調(diào)性并證明
（3）試問當-3≤x≤3時f（x）是否有最值？如果有，求出最值；如果沒有說出理由

解：（1）令x=y=0，f（0）=0
令y=-x
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0
∴f（x）是奇函數(shù)
（2）設(shè)x1＞x2
∴f（x1）-f（x2）=f（x1-x2）＜0
∴f（x）是減函數(shù)
（3）f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=-3
f（-3）=3
由（2）知f（x）是減函數(shù)
∴最大值為3，最小值為-3
分析：（1）先令x=y=0，求得f（0），再令y=-x構(gòu)造f（-x）+f（x）=f（0）得結(jié)論．
（2）先設(shè)x1＞x2，∴由主條件構(gòu)造f（x1）-f（x2）=f（x1-x2）由x＞0時f（x）＜0得證．
（3）由（2）知f（x）是減函數(shù)，則在端點處取得最大值和最小值．
點評：本題主要考查抽象函數(shù)奇偶性和單調(diào)性以及函數(shù)最值的求法，這類問題用賦值法和性質(zhì)的定義比較常見．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-2
（1）證明f（x）為奇函數(shù)．
（2）證明f（x）在R上是減函數(shù)．
（3）若f（2x+5）+f（6-7x）＞4，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），若x＞0時，f（x）＜0，且f（1）=2，
①求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．
②解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

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設(shè)函數(shù)f（x）對任意x∈R，都有f(x+3)=-
1
f(x)
，且當x∈（-3，-2）時，f（x）=5x，則f（201.2）=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），當x≠0時，xf（x）＜0，f（1）=-2
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）試問：在-n≤x≤n時（n∈N*），f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果沒有，說明理由．
（3）解關(guān)于x的不等式
1
2
f(bx2)-f(x)≥
1
2
f(b2x)-f(b)，(b＞0)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）求證f（x）是奇函數(shù)；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

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