Question

已知焦點在軸上的橢圓，焦距為，長軸長為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過點作兩條互相垂直的射線，與橢圓交于兩點.

①證明：點到直線的距離為定值，并求出這個定值；

②求.

Answer 1

（1）；（2）①;②.

【解析】

試題分析：（1）根據題意知：聯立解得的值，進而求得橢圓的方程；（2）①根據題意對直線按斜率存在與不存在兩種情況，當斜率不存在時，為等腰直角三角形，很易得到點到直線的距離；當直線的斜率不存在時，設直線的方程為：，聯立橢圓方程消去，根據韋達定理得到和代入即：得到和的關系，利用點到直線的距離公式，得到點到直線的距離，進而得到兩種情況下，點到直線的距離為定值;②因為，及勾股定理,再利用基本不等式，得到的最小值.

試題解析：（1）

所以橢圓的標準方程為

（2）（�。┰O,

① 當直線的斜率不存在時，則為等腰直角三角形，不妨設直線OA：

將代入，解得

所以點到直線的距離為；

② 當直線的斜率存在時，設直線的方程為，代入橢圓

聯立消去得：

，

因為，所以，

即

所以，整理得，

所以點到直線的距離

綜上可知點到直線的距離為定值

（ⅱ）在中，因為

又因為≤，所以≥

所以≥，當時取等號，即的最小值是

考點：1.橢圓的標準方程；2.韋達定理.