Question

已知函數(shù)f(x)＝lg|x|.

(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；

(2)畫出函數(shù)f(x)的草圖；

(3)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，并加以證明．

Answer 1

 [解]　(1)要使函數(shù)有意義，x的取值需滿足|x|>0，解得x≠0，即函數(shù)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

∵f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，

∴f(－x)＝f(x)．

∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù)．

(2)由于函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則其圖象關(guān)于y軸對稱，如右圖所示．

(3)由圖得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)．

證明：設(shè)x₁、x₂∈(－∞，0)且x₁<x₂，

則f(x₁)－f(x₂)＝lg|x₁|－lg|x₂|

＝.

∵x₁、x₂∈(－∞，0)，且x₁<x₂，

∴|x₁|>|x₂|>0.

∴||>1.∴l(xiāng)g||>0.∴f(x₁)>f(x₂)．

∴函數(shù)f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)，

即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)．