Question

已知函數(shù)f（x）=x+

2

x

，判斷f（x）在（0，

2

）上的單調(diào)性并加以證明；

Answer 1

分析：單調(diào)性的證明要充分利用定義，格式步驟是①在單調(diào)區(qū)間上設(shè)x₁＜x₂，②作差f（x₁）-f（x₂）化簡，③判斷f（x₁）-f（x₂）的符號進而判斷函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：函數(shù)f（x）=x+

2

x

在（0，

2

）上是單調(diào)減函數(shù)，
下面證明這個判斷：
證明：任取x₁，x₂∈（0，

2

），且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=x1+

2

x1

-（x2+

2

x2

）=（x₁-x₂）+（

2

x1

-

2

x2

）=(x1-x2) •

x1x2 -2

x1x2

∵＜0x₁＜x₂＜

2

，∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜2，∴x₁x₂-2＜0，∴(x1-x2) •

x1x2 -2

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，

2

）上是減函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷，利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性；對單調(diào)性定義的考查是高考以及各類考試的重點，要給予充足的重視．