Question

在平面直角坐標系中，已知A（-1，2），B（0，x+2），C（x+2tanθ-1，y+1）共線，其中．
（1）將x表示為y的函數，并求出函數表達式y(tǒng)=f（x）；
（2）若y=f（x）在[-1，]上是單調函數，求θ的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵A（-1，2），B（0，x+2），C（x+2tanθ-1，y+1）
∴=（1，x），=（x+2tanθ，y+1）
∵A，B，C三點共線，
∴x（x+2tanθ）-（y+1）=0
即y=f（x）=x²+2xtanθ-1
∴f（x）=x²+2xtanθ-1
（2）∵f（x）=x²+2xtanθ-1=（x+tanθ）²-tan²θ-1
又y=f（x）在[-1，]上是單調函數
∴-tanθ≥或-tanθ≤-1即tanθ≤-或tanθ≥1
∵θ∈（），
∴θ∈（]∪[）
∴θ的取值范圍是（]∪[）
分析：（1）由題意，欲求函數表達式y(tǒng)=f（x），可由A（-1，2），B（0，x+2），C（x+2tanθ-1，y+3）三點共線建立方程，得到y(tǒng)關于x的函數表達式；
（2）由（1）y關于x的函數表達式是一個二次函數，由于其在[-1，]上是單調函數，可知此區(qū)間一定在函數對稱軸的一側，由此關系轉化出關于θ的三角不等式，解出θ的取值范圍
點評：本題考查平面向量的綜合運用，是向量與函數相結合的一個題，第一小題解題的關鍵是理解三點共線，由三點共線得出x與y關系的方程，整理出函數表達式；第二小題是一個考查二次函數性質的題，理解二次函數的單調性，將單調性轉化為不等式是解題的關鍵，本題考查了轉化的思想，方程的思想，涉及到了向量的共線條件，二次函數的性質，三角不等式的解法，是一道綜合性較強的題