Question

若函數f（x）滿足：集合A={f（n）|n∈N^*}中至少存在三個不同的數構成等比數列，則稱函數f（x）是等比源函數．
（1）判斷下列函數：①y=x²；②y=lgx中，哪些是等比源函數？（不需證明）
（2）證明：函數g（x）=2x+3是等比源函數；
（3）判斷函數f（x）=2^x+1是否為等比源函數，并證明你的結論．

Answer 1

考點：等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）①利用等比數列的性質和等比源函數的概率推導出y=x²，y=lgx都是等比源函數．
（2）由g（x）=2x+3，推導出g（1）=5，g（6）=15，g（21）=45，由5，15，45成等比數列，得到函數g（x）=2x+3是等比源函數．
（3）函數f（x）=2^x+1不是等比源函數．例用反證法能證明函數f（x）=2^x+1不是等比源函數．

解答： 解：（1）①∵1²，2²，4²，8²構成等比數列，
∴y=x²是等比源函數．
②∵lg10，lg100，lg10000構成等比數列，
∴y=lgx是等比源函數．（4分）
（2）證明：∵g（x）=2x+3，
∴g（1）=2+3=5，g（6）=12+3=15，g（21）=42+3=45，
∵5，15，45成等比數列
∴函數g（x）=2x+3是等比源函數．（10分）
（3）函數f（x）=2^x+1不是等比源函數．
證明如下：
假設存在正整數m，n，k且m＜n＜k，使得f（m），f（n），f（k）成等比數列，
則（2ⁿ+1）²=（2^m+1）（2^k+1），
整理得2²ⁿ+2ⁿ⁺¹=2^m+k+2^m+2^k，
等式兩邊同除以2^m，得2^2n-m+2^n-m+1=2^k+2^k-m+1．
∵n-m≥1，k-m≥2，∴等式左邊為偶數，等式右邊為奇數，
∴等式2^2n-m+2^n-m+1=2^k+2^k-m+1不可能成立，
∴假設不成立，
∴函數f（x）=2^x+1不是等比源函數．（18分）

點評：本題考查等比源函數的判斷與證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意反證法的合理運用．