已知數(shù)列{an}的首項為a1=1，其前n項和為sn，且對任意正整數(shù)n有：n、an、Sn成等差數(shù)列．
（1）求證：數(shù)列{Sn+n+2}成等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式．
分析：（1）由n、an、Sn成等差數(shù)列，可得2an=n+Sn，所以2（Sn-Sn-1）=n+Sn，由此可得結(jié)論；
（2）先求數(shù)列{Sn+n+2}的通項，即可求得結(jié)論．
解答：（1）證明：∵n、an、Sn成等差數(shù)列
∴2an=n+Sn，
∴2（Sn-Sn-1）=n+Sn，
∴Sn+n+2=2[Sn-1+（n-1）+2]
∴
Sn+n+2
Sn-1+(n-1)+2
=2
∴{Sn+n+2}成等比數(shù)列
（2）解：由（1）知{Sn+n+2}是以S1+3=a1+3=4為首項，2為公比的等比數(shù)列
∴Sn+n+2=4•2n-1=2n+1
又2an=n+Sn，∴2
a
 
n
+2=2n+1
∴an=2n-1
點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項，求得數(shù)列是等比數(shù)列是關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項a1=
1
2
，前n項和Sn=n2an（n≥1）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)b1=0，bn=
Sn-1
Sn
(n≥2)，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，求證：Tn＜
n2
n+1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項為a1=2，前n項和為Sn，且對任意的n∈N*，當(dāng)n≥2，時，an總是3Sn-4與2-
52
Sn-1的等差中項．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)bn=（n+1）an，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，n∈N*，求Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•江門一模）已知數(shù)列{an}的首項a1=1，若?n∈N*，an•an+1=-2，則an=
1，n是正奇數(shù)
-2，n是正偶數(shù)
1，n是正奇數(shù)
-2，n是正偶數(shù)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項為a1=3，通項an與前n項和sn之間滿足2an=Sn•Sn-1（n≥2）．
（1）求證：數(shù)列{
1Sn
}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）求數(shù)列{an}中的最大項．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項a1=
2
3
，an+1=
2an
an+1
，n∈N+
（Ⅰ）設(shè)bn=
1
an
-1證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）數(shù)列{
n
bn
}的前n項和Sn．

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