Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax，g（x）=lnx．
（1）若f（x）≥g（x）對(duì)于定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)h（x）=f（x）+g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且，證明：；
（3）設(shè)對(duì)于任意的a∈（1，2），總存在，使不等式r（x）＞k（1-a²）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意：f（x）≥g（x）?x²-ax≥lnx，（x＞0）
分離參數(shù)α可得：a≤，（x＞0）…（1分）
設(shè)，則=…（2分）
由于函數(shù)y=x²，y=lnx在區(qū)間（0，+∞）上都是增函數(shù)，所以
函數(shù)y=x²+lnx-1在區(qū)間（0，+∞）上也是增函數(shù)，顯然x=1時(shí)，該函數(shù)值為0
所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，Φ^′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，Φ^′（x）＞0
所以函數(shù)Φ（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)
所以Φ（x）_min=Φ（1）=1，所以a≤Φ（x）_min=1即a∈（-∞，1）…（4分）
（2）由題意知道：h（x）=x²-ax+lnx．則
所以方程2x²-ax+1=0，（x＞0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，且，
又因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/207264.png' />，所以，且…（6分）
而h（x₁）-h（x₂）=
=
==═，（x₂＞1）
設(shè)，則
所以，即…（8分）
（3）
所以=…（9分）
因?yàn)閍∈（1，2），所以
所以當(dāng)時(shí)，r（x）是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，
，a∈（1，2）…（10分）
所以，要滿足題意就需要滿足下面的條件：，
若令，a∈（1，2），
即對(duì)任意a∈（1，2），＞0恒成立
因?yàn)棣?sup>′（a）==…（11分）
分類討論如下：
①若k=0，則，所以φ（a）在（1，2）遞減，
此時(shí)φ（a）＜φ（1）=0不符合題意
②若k＜0，則，所以φ（a）在區(qū)間（1，2）遞減，
此時(shí)φ（a）＜φ（1）=0不符合題意．
③若k＞0，則，那么當(dāng)時(shí)，假設(shè)t為2與中較小的一個(gè)數(shù)，即t={}，
則φ（a）在區(qū)間（1，min{}）上遞減，此時(shí)φ（a）＜φ（1）=0不符合題意．
綜上可得解得，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為…（14分）
分析：（1）由于f（x）≥g（x）恒成立，只需使x²-ax≥lnx，（x＞0）分離參數(shù)來解決，注意a≤F（x）即要a≤F（x）_min；a≥F（x）即要a≥F（x）_max；
（2）借助于極值點(diǎn)的范圍，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來處理；
（3）與（1）類似處理，注意分類討論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于較難的題目，注意與不等式恒成立的有關(guān)的參數(shù)取值范圍問題常用分離參數(shù)來解決．