Question

如圖,在直三棱柱中，平面，其垂足落在直線上．

（1）求證：⊥

（2）若，，為的中點，求二面角的平面角的余弦值

 

 

Answer 1

（1）證明：見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)三棱柱 為直三棱柱，

平面，又平面， 加之 平面,平面,，

平面，

即可得證．

（2）由（1）知平面，平面,從而

如圖,以B為原點建立空間直角坐標(biāo)系

平面，其垂足落在直線上,

．

確定得到（0,0,0）,,C（2，0，0）,P（1，1，0）,（0，2，2）,

（0，2，2）

求平面的一個法向量、平面的一個法向量，得到二面角平面角的余弦值是（2）也可利用求解．

試題解析：（1）證明：三棱柱 為直三棱柱，

平面，又平面，

-平面，且平面，

． 又 平面,平面,，

平面，

又平面，

（2）由（1）知平面，平面,從而

如圖,以B為原點建立空間直角坐標(biāo)系

平面，其垂足落在直線上,

．

在中，，AB=2，

,

在直三棱柱 中，．

在中， ,

則（0,0,0）,,C（2，0，0）,P（1，1，0）,（0，2，2）,

（0，2，2）

設(shè)平面的一個法向量

則 即 可得

設(shè)平面的一個法向量

則 即

可得

二面角平面角的余弦值是 12分

（2）或在中，，AB=2,則BD=1 可得D（

二面角平面角的余弦值是 12分

考點：1．空間幾何體的特征；2．垂直關(guān)系；3．空間的角；4．空間向量方法．