在平面直角坐標(biāo)系中,直線L:y=mx+3-4m,m∈R恒過一定點,且與以原點為圓心的圓C恒有公共點.
(1)求出直線L恒過的定點坐標(biāo);
(2)當(dāng)圓C的面積最小時,求圓C的方程;
(3)已知定點Q(-4,3),直線L與(2)中的圓C交于M、N兩點,試問
QM
QN
•tan∠MQN
是否存在最大值,若存在則求出該最大值,并求出此時直線L的方程,若不存在請說明理由.
分析:(1)直線L:y=mx+3-4m可化簡為y=m(x-4)+3,由此知直線恒過定點T(4,3).
(2)由題意,要使圓C的面積最小,定點T(4,3)在圓上,由此能求出圓C的方程.
(3)
QM
QN
•tan∠MQN
=|
QM
||
QN
|•cos∠MQN•tan∠MQN
=|
QM
|•|
QN
|•sin∠MQN
=2S△MQN.由此能夠?qū)С?span id="blhfdzd" class="MathJye">
QM
QN
×tan∠MQN的最大值和此時直線L的方程.
解答:解:(1)直線L:y=mx+3-4m可化簡為y=m(x-4)+3(2分)
所以直線恒過定點T(4,3)(4分)
(2)由題意,要使圓C的面積最小,定點T(4,3)在圓上,
所以圓C的方程為x2+y2=25.(8分)
(3)
QM
QN
•tan∠MQN

=|
QM
||
QN
|•cos∠MQN•tan∠MQN

=|
QM
|•|
QN
|•sin∠MQN
=2S△MQN(10分)
由題意得直線L與圓C的一個交點為M(4,3),又知定點Q(-4,3),
直線LMQ:y=3,|MQ|=8,則當(dāng)N(0,-5)時SMQN有最大值32.
QM
QN
×tan∠MQN
有最大值為64,(13分)
此時直線L的方程為2x-y-5=0.(14分)
點評:本題考查直線和圓的位置關(guān)系,解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地選用公式.
練習(xí)冊系列答案
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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點,x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為:pcos(θ-
π3
)=1
,M,N分別為曲線C與x軸,y軸的交點,則MN的中點P在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
 

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π
2
,
2
)
,且|
AC
|=|
BC
|

(1)求角θ的值;
(2)設(shè)α>0,0<β<
π
2
,且α+β=
2
3
θ
,求y=2-sin2α-cos2β的最小值.

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(寫出所有正確命題的編號).
①存在這樣的直線,既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點
②如果k與b都是無理數(shù),則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點
③直線l經(jīng)過無窮多個整點,當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個不同的整點
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是:k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線.

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