Question

已知函數.

（1）當時，求的值域；

（2）當,時，函數的圖象關于對稱，求函數的對稱軸；

（3）若圖象上有一個最低點，如果圖象上每點縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的倍，然后向左平移1個單位可得的圖象，又知的所有正根從小到大依次為，，…，…且，求的解析式.

 

Answer 1

（1）①當時，值域為： ； ② 當時，值域為：；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）利用正弦函數的值域和不等式性質即可求出的值域，主要要分與0兩種情況；（2）先由對稱軸過最值點列出關于的方程，求出，然后將函數利用設輔助角公式化為一個角的三角函數，再利用求對稱軸的方法求出對稱軸；（3）先由設輔助角公式將函數化成一個角的三角函數，利用過最低點，求出輔助角并將用表示出來，即求出的解析式，再根據題中的圖像變換求出的解析式，再根據題中已知條件的所有正根從小到大依次為，，…，…且確定參數，即可得到的解析式.

試題解析：（1）當時，

①當時，值域為： ② 當時，值域為：

（2）當，時，且圖象關于對稱。

∴ ∴函數即：∴ 由

∴函數的對稱軸為：

（3）由

（其中，）

由圖象上有一個最低點，所以

∴ ∴

又圖象上每點縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的倍，然后向左平移1個單位可得的圖象，則

又∵的所有正根從小到大依次為，，…，…，且

所以與直線的相鄰交點間的距離相等，根據三角函數的圖象與性質可得以下情況：

（1）直線要么過的最高點或最低點.

即或（矛盾），

當時，函數的,

直線和相交，且，周期為3（矛盾）

（2）經過的對稱中心

即，

當時，函數

直線和相交，且，周期為6（滿足）

綜上：.

考點:三角函數圖像與性質；圖像變換；邏輯推理能力