Question

已知函數(shù)f（x）=（a、b是非零實(shí)常數(shù)）滿足f（1）=，且方程f（x）=x有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解．
（1）求a、b的值；
（2）在直角坐標(biāo)系中，求定點(diǎn)A（0，2）到函數(shù)f（x）圖象上任意一點(diǎn)P（x，y）的距離|AP|的最小值．
（3）當(dāng)x∈（]時(shí)，不等式（x+1）•f（x）＞m（m-x）-1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，a+b=2，由x（）=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解x=0可求得b=1，a=1；
（2）由（1）知，P（x，），從而可得|AP|²=+[（x+1）-1]²，通過換元，令t=，得|AP|²=+2（t-）+4，再令r=t-，通過配方即可求得|AP|的最小值；
（3）依題意，x∈（]時(shí)，不等式（x+1）•f（x）＞m（m-x）-1恒成立?（1+m）x＞m²-1恒成立，通過對m+1＞0與m+1＜0的討論，結(jié)合函數(shù)恒成立問題即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（1）∵f（x）=，且f（1）=，
∴=，即a+b=2；
又=x有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
∴x（）=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，為0．
∴b=1，a=1．
∴f（x）=．
（2）由（1）知，P（x，），
|AP|²=+x²
=+x²
=+[（x+1）-1]²，
令t=，
則|AP|²=t²+2t+1+-+1
=+2（t-）+4，
令r=t-，
則|AP|²=r²+2r+4=（r+1）²+3，
∴當(dāng)r=-1，即t-=-1，t=時(shí)，|AP|的最小值為．
（3）∵x∈（]，
∴x+1＞＞0，
∴（x+1）•f（x）＞m（m-x）-1恒成立?x＞m（m-x）-1恒成立?（1+m）x＞m²-1，
當(dāng)m+1＞0，即m＞-1時(shí)，
有m-1＜x恒成立?m＜x+1?m＜（x+1）_min，
∴-1＜m＜；
當(dāng)m+1＜0，即m＜-1時(shí)，同理可得m＞（x+1）_max=，
∴此時(shí)m不存在．
綜上得-1＜m＜．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題，考查方程思想、分類討論思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合應(yīng)用，考查換元法與配方法，考查推理與運(yùn)算能力，屬于難題．