Question

在假期社會實踐活動中，小明參觀了某博物館．該博物館大廳有一幅壁畫，剛進入大廳時，他在點A處看這幅壁畫頂端點C的仰角為45°，往正前方走4m后，在點B處看壁畫頂端點C的仰角為75°（如圖所示）．
（1）求BC的長；
（2）若小明身高為1.70m，求這幅壁畫頂端點C離地面的高度．（精確到0.01m，其中

3

≈1.732）．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，由條件求得∠ACB=75°-45°=30°．由正弦定理得

BC

sin45°

=

AB

sin30°

，將AB=4代入上式，求得BC的值．
（2）在△CBD中，先求得DC=4

2

sin75°，再利用兩角和的正弦公式求得 sin75°=

6 + 2

4

，可得 DC=2+2

3

，從而求得CE=CD+DE的值．

解答：解：（1）在△ABC中，∵∠CAB=45°，∠DBC=75°，∴∠ACB=75°-45°=30°…（2分）
由正弦定理，得

BC

sin45°

=

AB

sin30°

，…（4分）
將AB=4代入上式，得BC=4

2

（m…（6分）
（2）在△CBD中，∵∠CBD=75°，BC=4

2

，∴DC=4

2

sin75°…（8分）
因為 sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=

2

2

×

3

2

+

2

2

×

1

2

=

6 + 2

4

，…（9分）
則 DC=2+2

3

． …（10分）
所以CE=CD+DE=2+2

3

+1.70≈3.70+3.464≈7.16（m）…．（11分）
答：BC的長為4

2

m；壁畫頂端點C離地面的高度為7.16m．　　　  …（12分）

點評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，兩角和的正弦公式，屬于中檔題．