Question

【題目】已知直線l： （t為參數(shù)，α≠0）經(jīng)過(guò)橢圓C： （φ為參數(shù)）的左焦點(diǎn)F．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求|FA|×|FB|取最小值時(shí)，直線l的傾斜角α．

Answer 1

【答案】
（1）解：橢圓C： （φ為參數(shù)）化為普通方程： =1，

可得：a=2，b= ，c= =1，可得左焦點(diǎn)F（﹣1，0），

直線l： （t為參數(shù)，α≠0）化為普通方程：y=（x﹣m）tanα，

經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（m，0），因此m=﹣1．

（2）解：將直線的參數(shù)方程： （t為參數(shù)，α≠0）

代入橢圓C的普通方程中整理得：（3+sin2α）t2﹣6tcosα﹣9=0，

設(shè)點(diǎn)A，B在直線參數(shù)方程中對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t2=﹣ ．

則|FA|×|FB|=|t1t2|= ，當(dāng)sinα=±1時(shí)，|FA||FB|取最小值 ，

∵α∈（0，π），∴ ．

∴|FA||FB|取最小值時(shí)，直線l的傾斜角α= ．

【解析】（1）橢圓C： （φ為參數(shù)）化為普通方程： =1，利用c= ，可得左焦點(diǎn)F（﹣c，0），直線l： （t為參數(shù)，α≠0）化為普通方程：y=（x﹣m）tanα，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（m，0），可得m．（2）將直線的參數(shù)方程： （t為參數(shù)，α≠0）代入橢圓C的普通方程中整理得：（3+sin2α）t2﹣6tcosα﹣9=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其|FA|×|FB|=|t1t2|，即可得出．