Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點．
（1）求證：EF∥平面PAB；
（2）若平面PAC⊥平面ABC，且PA=PC，∠ABC=90°，求證：平面PEF⊥平面PBC．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點，說明EF∥AB，通過直線與平面平行的判定定理直接證明EF∥平面PAB．
（2）證明PE⊥AC，利用平面與平面垂直的判定定理證明PE⊥平面ABC，通過證明PE⊥BC．EF⊥BC，EF∩PE=E，證明BC⊥平面PEF，然后推出平面PEF⊥平面PBC．
解答：（本小題滿分14分）
證明：（1）∵E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點，∴EF∥AB．---（1分）
又EF?平面PAB，-----（2分）
AB?平面PAB，------（3分）
∴EF∥平面PAB．-----（4分）
（2）在三角形PAC中，∵PA=PC，E為AC中點，
∴PE⊥AC．-----（5分）
∵平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC=AC，
∴PE⊥平面ABC．-----（7分）
∴PE⊥BC．-----（8分）
又EF∥AB，∠ABC=90°，∴EF⊥BC，------（10分）
又EF∩PE=E，
∴BC⊥平面PEF．------（12分）
∴平面PEF⊥平面PBC．----（14分）
點評：本題考查直線與平面平行的判定定理，平面與平面垂直的性質(zhì)定理，考查空間想象能力，邏輯推理能力．