Question

已知f（x）=

ax2+b

x

，g（x）=2lnx，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為2x-y-2=0．
（1）求a，b的值；
（2）若當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）≤mf（x）恒成立，求m的取值范圍；
（3）已知

3

=1.732，試估算ln

4

3

的近似值（精確到0.01）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：分類討論,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，由切線方程可得切線的斜率和切點(diǎn)，解方程可得a，b的值；
（2）求出f（x）的解析式，由g（x）≤mf（x）得2lnx≤m（x-

1

x

），即2lnx-m（x-

1

x

）≤0，令ϕ（x）=2lnx-m（x-

1

x

），對(duì)m討論，①當(dāng)m=0時(shí)，②當(dāng)m≤-1時(shí)，③當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，④當(dāng)0＜m＜1時(shí)，⑤當(dāng)m≥1時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷；
（3）對(duì)任意的k＞1，ϕ（k）=2lnk-m（k-

1

k

），由（2）知，當(dāng)m=1時(shí)，ϕ（k）=2lnk-k+

1

k

＜0恒成立，以及由（2）④知當(dāng)0＜m＜1時(shí)，得到的結(jié)論，取k=

4

3

，代入計(jì)算即可得到所求近似值．

解答： 解：（1）f（x）=ax+

b

x

，f′（x）=a-

b

x2

，
由于f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為2x-y-2=0，
則f′（1）=2，f（1）=0即a-b=2，a+b=0，
解得a=1，b=-1；
（2）f（x）=x-

1

x

，
由g（x）≤mf（x）得2lnx≤m（x-

1

x

），
即2lnx-m（x-

1

x

）≤0，
令ϕ（x）=2lnx-m（x-

1

x

）則ϕ′（x）=

2

x

-m（1+

1

x2

）=

-mx2+2x-m

x2

，
①當(dāng)m=0時(shí)，ϕ′（x）=

2

x

＞0恒成立，
即有ϕ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，則ϕ（x）＞ϕ（1）=0，
這與ϕ（x）≤0矛盾，不合題意；
若m≠0，令△=4-4m²=4（1+m）（1-m），
②當(dāng)m≤-1時(shí)，△≤0恒成立且-m＞0
即有-mx²+2x-m≥0恒成立，即ϕ′（x）≥0恒成立
即ϕ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
即有ϕ（x）＞ϕ（1）=0，這與ϕ（x）≤0矛盾，不合題意；
③當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，△＞0，方程-mx²+2x-m=0有兩個(gè)不等實(shí)根x₁，x₂（不妨設(shè)x₁＜x₂），
由韋達(dá)定理得x₁•x₂=1＞0，x₁+x₂=

2

m

＜0，
即x₁＜x₂＜0，則當(dāng)x≥1時(shí)，-mx²+2x-m≥0恒成立，
即ϕ′（x）＞0恒成立，即有ϕ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
則ϕ（x）＞ϕ（1）=0，這與ϕ（x）≤0矛盾，不合題意；
④當(dāng)0＜m＜1時(shí)，△＞0，方程-mx²+2x-m=0有兩個(gè)不等實(shí)根x₁，x₂（不妨設(shè)x₁＜x₂），
0＜x₁=

1- 1-m2

m

＜1，x₂=

1+ 1-m2

m

＞1即有0＜x₁＜1＜x₂，
即有ϕ（x）在（1，x₂）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（1，x₂）時(shí)，ϕ′（x）＞0，
即有ϕ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，即有ϕ（x）＞ϕ（1）=0，這與ϕ（x）≤0矛盾，不合題意；
⑤當(dāng)m≥1時(shí)，△≤0且-m＜0，則ϕ′（x）≤0恒成立，
即有ϕ（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，ϕ（x）≤ϕ（1）=0，合題意．
綜上所述，當(dāng)m∈[1，+∞）時(shí)，g（x）≤mf（x）恒成立；
（3）對(duì)任意的k＞1，ϕ（k）=2lnk-m（k-

1

k

），
由（2）知，當(dāng)m=1時(shí)，ϕ（k）=2lnk-k+

1

k

＜0恒成立，
即2lnk＜k-

1

k

，
取k=

4

3

得ln

4

3

＜

1

2

（

4

3

-

3

4

）≈0.289．
由（2）④知當(dāng)0＜m＜1時(shí)，ϕ（x）在（1，

1+ 1-m2

m

）上單調(diào)遞增，
ϕ（x）＞ϕ（1）=0，
令x₁=

1- 1-m2

m

得：m=

1

k

，ϕ（x）=2lnx-m（x-

1

x

）＞0
∴ϕ（k）=2lnk-m（k-

1

k

）=2lnk+

1

k2

-1＞0，即有l(wèi)nk＞

1

2

（1-

1

k2

），
取k=

4

3

得：ln

4

3

＞

2

7

≈0.286，
∴0.286＜ln

4

3

＜0.289，
取ln

4

3

=

1

2

×（0.286+0.289）=0.2875≈0.29，
∴l(xiāng)n

4

3

≈0.29．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間，主要考查判斷函數(shù)的單調(diào)性和不等式的恒成立問(wèn)題，具有一定的運(yùn)算量，運(yùn)用分類討論的思想方法和兩邊夾及取均值思想是解題的關(guān)鍵．