已知拋物線x2=4y及定點P(0,8),A、B是拋物線上的兩動點,且
AP
PB
(λ>0)
.過A、B兩點分別作拋物線的切線,設(shè)其交點為M.
(Ⅰ)證明:點M的縱坐標(biāo)為定值;
(Ⅱ)是否存在定點Q,使得無論AB怎樣運動,都有∠AQP=∠BQP?證明你的結(jié)論.
分析:(I)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),對拋物線方程為y=
1
4
x2
,求導(dǎo)得y′=
1
2
x

(法一)可得過拋物線上A、B兩點的切線方程分別為y=
1
2
x1(x-x1)+y1
y=
1
2
x1x-
1
4
x12,y=
1
2
x2x-
1
4
x22
,聯(lián)立方程可得M(
x1+x2
2
,
x1x2
4
)
,由
AP
PB
(λ>0)
,得
-x1x2
8-y1=λ(y2-8)
,結(jié)合拋物線的方程整理可求
(法二)由直線AB與x軸不垂直可設(shè)AB:y=kx+8..
y=kx+8
y=
1
4
x2.
可得
x2-4kx-32=0,x1+x2=4k,x1x2=-32,利用導(dǎo)數(shù)知識可得過拋物線上A、B兩點的切線斜率分別是k1=
1
2
x1
k2=
1
2
x2
,從而可寫出切線MA.MB的方程,聯(lián)立方程可求M
(II)考慮到AB∥x軸時,顯然要使∠AQP=∠BQP,則點Q必定在y軸上,且有KAQ+KBQ=0對一切k恒成立,代入整理可求
解答:解:(I)方法1:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
對拋物線方程為y=
1
4
x2
,求導(dǎo)得y′=
1
2
x

所以,過拋物線上A、B兩點的切線方程分別為:y=
1
2
x1(x-x1)+y1
,y=
1
2
x2(x-x2)+y2
,即y=
1
2
x1x-
1
4
x12,y=
1
2
x2x-
1
4
x22
,解得M(
x1+x2
2
,
x1x2
4
)

AP
PB
(λ>0)
,得(-x1,8-y1)=λ(x2,y2-8),即
-x1x2
8-y1=λ(y2-8)
將式(1)兩邊平方并代入y1=
1
4
x12,y2=
1
4
x22
得y12y2,再代入(2)得λy2=8,解得y1=8λ,
y
 
2
=
8
λ
且有x1x2=-λx22=-4λy2=-32,所以,點M的縱坐標(biāo)為-8.
方法2:∵直線AB與x軸不垂直,設(shè)AB:y=kx+8.A(x1,y1),B(x2,y2
.
y=kx+8
y=
1
4
x2.
可得
x2-4kx-32=0,x1+x2=4k,x1x2=-32
拋物線方程為y=
1
4
x2,求導(dǎo)得y′=
1
2
x

所以過拋物線上A、B兩點的切線斜率分別是k1=
1
2
x1
,k2=
1
2
x2
,∴MA:y-
1
4
x12=
1
2
x1(x-x1);MB:y-
1
4
x22=
1
2
x2(x-x2)

解得:yM=
-
1
4
x
2
1
x2+
1
4
x1
x
2
2
x2-x1
=
1
4
x1x2=-8

即點M的縱坐標(biāo)為定值-8
(II)考慮到AB∥x軸時,顯然要使∠AQP=∠BQP,則點Q必定在y軸上,
設(shè)點Q(0,t),此時kAQ=
y1-t
x1
,kBQ=
y2-t
x2

結(jié)合(1)x1+x2=4k,x1x2=-32
kAQ+kBQ=
x12
4
-t
x1
+
x22
4
-t
x2
=
x1x2(x1+x2)-4t(x1+x2)
4x1x2
=0
對一切k恒成立
即:k(8+t)=0
故當(dāng)t=-8,即Q(0,-8)時,使得無論AB怎樣運動,都有∠AQP=∠BQP
點評:本題考查拋物線的應(yīng)用,及直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用,關(guān)鍵是看清題中給出的條件,靈活運用方程的思想進行求解.
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(Ⅰ)若
PQ
PR
,求λ.
(Ⅱ)若拋物線上的點A滿足條件
PF
FA
,求△APR的面積最小值,并寫出此時的切線方程.

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(I)求證:|OC|=|DF|;
(II)試判斷直線EF與拋物線的位置關(guān)系并說明理由.

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(Ⅰ)若y0=4,求過點M的圓的切線方程;
(Ⅱ)若y0>4,求過點M的圓的兩切線與x軸圍成的三角形面積S的最小值.

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