【題目】某房地產(chǎn)開發(fā)商為吸引更多消費(fèi)者購房,決定在一塊閑置的扇形空地中修建一個(gè)花園.如圖,已知扇形AOB的圓心角∠AOB=,半徑為R.現(xiàn)欲修建的花園為OMNH,其中M,H分別在OA,OB上,N在上.設(shè)∠MON=θ,OMNH的面積為S.

(1)將S表示為關(guān)于θ的函數(shù);

(2)求S的最大值及相應(yīng)的θ值.

【答案】（1）S=R2(cos θ-sin θ)sin θ,θ∈；（2）θ=時(shí),S取得最大值R2.

【解析】

（1）分別過N，H作ND⊥OA于D，HE⊥OA于E，則HEDN為矩形，求出邊長，即可求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；（2）利用二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達(dá)式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過θ的范圍求出S的最大值及相應(yīng)的θ角.

(1)如圖,過N作NP⊥OA于點(diǎn)P,過H作HE⊥OA于點(diǎn)E,∵∠AOB=,

∴OE=EH=NP=Rsin θ,OP=Rcos θ,

∴HN=EP=OP-OE=R(cos θ-sin θ),

∴S=HN·NP=R2(cos θ-sin θ)sin θ,θ∈.

(2)S=R2(cos θsin θ-sin2θ)

=R2

=R2(sin 2θ+cos 2θ-1)

=R2,

∵θ∈,∴2θ+,

∴當(dāng)2θ+,即θ=時(shí),S取得最大值,且最大值為R2.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】

袋中有形狀和大小完全相同的四種不同顏色的小球，每種顏色的小球各有4個(gè)，分別編號(hào)為1，2，3，4．現(xiàn)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球．

（Ⅰ）若兩個(gè)球顏色不同，求不同取法的種數(shù)；

（Ⅱ）在（1）的條件下，記兩球編號(hào)的差的絕對值為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的概率分布與數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的三棱錐ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D，E分別是BC，A1B1的中點(diǎn)．

（1）求證：DE∥平面ACC1A1；
（2）若AB⊥BC，AB=BC，∠ACB1=60°，求直線BC與平面AB1C所成角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足f′（x）+f（x）＜0，設(shè)a=f（m﹣m2），b=e f（1），則a，b的大小關(guān)系是（ ）
A.a＞b
B.a＜b
C.a=b
D.a，b的大小與m的值有關(guān)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（，）,其圖像與直線相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為,若對于任意的恒成立, 則的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知直線的右焦點(diǎn)，且交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的射影依次為點(diǎn).

（Ⅰ）已知拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)。

①求橢圓的方程；

②若直線交軸于點(diǎn)，且，當(dāng)變化時(shí)，求的值；

（Ⅱ）連接，試探索當(dāng)變化時(shí)，直線是否相交于一定點(diǎn)？若交于定點(diǎn)，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)并給予證明；否則說明理由.

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【題目】已知f（x）=3x+2xf′（1），則曲線f（x）在x=0處的切線在x軸上的截距為（ ）
A.1
B.5ln3
C.﹣5ln3
D.

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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程 （φ為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）直線l的極坐標(biāo)方程是2ρsin（θ+ ）=3 ，射線OM：θ= 與圓C的交點(diǎn)為O、P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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