已知f（x）、g（x）分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且f（x）-g（x）=ex
（Ⅰ）f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）證明：f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．

解：（Ⅰ）∵f（x），g（x）分別為R上的奇函數(shù)，偶函數(shù)f（x）-g（x）=ex①∴f（-x）-g（-x）=e-x∴-f（x）-g（x）=e-x②①-②得：
①+②得：
（Ⅱ）證明：由（1）知
所以 ，即導(dǎo)函數(shù)在（-∞，+∞）上恒為正值
因此f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)
分析：（Ⅰ）由題意用-x代替x，得f（-x）-g（-x）=e-x，利用f（x）、g（x）分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于
f（x）和g（x）另外一個方程，再與已知方程聯(lián)列，解之可得f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）由（I）得，求出其導(dǎo)函數(shù)，可以得出導(dǎo)函數(shù)在（-∞，+∞）上恒為負(fù)值，因此可得f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．
點評：本題考查了用函數(shù)奇偶性來求函數(shù)的解析式和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．解決的關(guān)鍵是利用替換列出另外一個方程，再用函數(shù)奇偶性結(jié)合方程思想求出函數(shù)的解析式．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，g（x）≠0，f（x）=axg（x），f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，在有窮數(shù)列{
f(n)
g(n)
}，(n=1，2，…，10)中任取前k項相加，則前k項和大于
15
16
的概率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，g（x）≠0，f（x）g'（x）＞f'（x）g（x），f（x）=ax•g（x），（a＞0且a≠1）
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，令an=
f(n)
g(n)
，則使數(shù)列{an}的前n項和Sn超過
15
16
的最小自然數(shù)n的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，g（x）≠0，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x），且f（x）=axg（x）（a＞0且a≠1，
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，對于有窮數(shù)列
f(n)
g(n)
=(n=1，2，…0)，任取正整數(shù)k（1≤k≤10），則前k項和大于
15 
16
的概率是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，且f（x）=g（x）ax（a＞0且a≠1），f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，則a的值為
1
2
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，且f（x）+g（x）=2log2（1-x）
（1）求f（x）及g（x）的解析式，并指出其單調(diào)性（無需證明）．
（2）求使f（x）＜0的x取值范圍．
（3）設(shè)h-1（x）是h（x）=log2x的反函數(shù)，若存在唯一的x使
1-h-1(x)1+h-1(x)
=m-2x成立，求m的取值范圍．

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