Question

已知函數(shù)g（x）是f（x）=x²（x＞0）的反函數(shù)，點M（x₀，y₀）、N（y₀，x₀）分別是f（x）、g（x）圖象上的點，l₁、l₂分別是函數(shù)f（x）、g（x）的圖象在M，N兩點處的切線，且l₁∥l₂．
（Ⅰ）求M、N兩點的坐標；
（Ⅱ）求經(jīng)過原點O及M、N的圓的方程．

Answer 1

分析：（I）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數(shù)求出在切點處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．最后利用平行直線的斜率相等即可解決問題．
（II）欲求經(jīng)過原點O及M、N的圓的方程，利用圓的一般方程結(jié)合待定系數(shù)法求解即可．

解答：解：（Ⅰ）因為f（x）=x²（x＞0），所以g(x)=

x

(x＞0)．
從而f'（x）=2x，g′(x)=

1

2 x

．
所以切線l₁，l₂的斜率分別為k₁=f'（x₀）=2x₀，k2=g′(y0)=

1

2 y0

．
又y₀=x₀²（x₀＞0），所以k2=

1

2x0

．
因為兩切線l₁，l₂平行，所以k₁=k₂．
因為x₀＞0，
所以x0=

1

2

．
所以M，N兩點的坐標分別為(

1

2

，

1

4

)，(

1

4

，

1

2

)．
（Ⅱ）設(shè)過O、M、N三點的圓的方程為：x²+y²+Dx+Ey+F=0．
因為圓過原點，所以F=0．因為M、N關(guān)于直線y=x對稱，所以圓心在直線y=x上．
所以D=E．
又因為M(

1

2

，

1

4

)在圓上，
所以D=E=-

5

12

．
所以過O、M、N三點的圓的方程為：x2+y2-

5

12

x-

5

12

y=0．

點評：本小題主要考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、圓的一般方程、圓的一般方程的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．