Question

【題目】設(shè)f（x）是定義在（﹣π，0）∪（0，π）的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且 ，當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，f'（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，則關(guān)于x的不等式 的解集為（ ）
A.
B. ??
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：設(shè)g（x）= ， ∴g′（x）= ，
∵f（x）是定義在（﹣π，0）∪（0，π）上的奇函數(shù)，
故g（﹣x）= = =g（x）
∴g（x）是定義在（﹣π，0）∪（0，π）上的偶函數(shù)．
∵當(dāng)0＜x＜π時(shí)，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0
∴g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，π）上單調(diào)遞減，
∴g（x）在（﹣π，0）上單調(diào)遞增．
∵f（ ）=0，
∴g（ ）= =0，
∵f（x）＜2f（ ）sinx，
即g（ ）sinx＞f（x）；
① 當(dāng)sinx＞0時(shí)，即x∈（0，π），g（ ）＞ =g（x）；
所以x∈（ ，π）；
②當(dāng)sinx＜0時(shí)，即x∈（﹣π，0）時(shí)，g（ ）=g（﹣ ）＜ =g（x）；
所以x∈（﹣ ，0）；
不等式f（x）＜2f（ ）sinx的解集為解集為（﹣ ，0）∪（ ，π）．
故選：B．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．