Question

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，，則下面說(shuō)法不正確的是（ ）

A.B.

C.D.有極小值點(diǎn)，且

Answer 1

【答案】C

【解析】

先證明出對(duì)數(shù)平均不等式，由題意得出，將兩式作差結(jié)合對(duì)數(shù)平均不等式可判斷出A、B選項(xiàng)的正誤，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合該函數(shù)的極值以及該函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)可判斷出選項(xiàng)的正誤，求出極值點(diǎn)，將中兩等式相加可判斷D選項(xiàng)的正誤.

先證明對(duì)數(shù)平均不等式.

先考慮不等式，設(shè)，

即證，即證，令，即證不等式.

構(gòu)造函數(shù)，則，

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，

當(dāng)，且時(shí)，；

接下來(lái)考慮不等式，設(shè)，

即證，即證，設(shè)，即證不等式.

構(gòu)造函數(shù)，則，

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，

當(dāng)，且時(shí)，有.

即當(dāng)，且時(shí)，.

對(duì)于C選項(xiàng)，，.

①當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，該函數(shù)最多有一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，令，得.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

所以，函數(shù)在處取得極小值，

由于該函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，

即，解得，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于A、B選項(xiàng)，由于函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，且，

由于，則，，且有，

則，兩個(gè)等式兩邊取自然對(duì)數(shù)得，

兩式相減得，，

由對(duì)數(shù)平均不等式得，即，

，，A、B選項(xiàng)都正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，，

將中兩個(gè)等式相加得，

，即，D選項(xiàng)正確.

故選：C.