Question

（2013•許昌三模）已知函數(shù)，f（x）=

x

3x+1

，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）
（I）求證數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）記S_n=a₁a₂+a₂a₃+..a_na_n+1，求S_n．

Answer 1

分析：（I）直接利用a_n+1=f（a_n）得到an+1=

an

3an+1

．再對其取倒數(shù)整理即可證數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；進而求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）利用（I）的結(jié)論以及所問問題的形式，直接利用裂項相消求和法即可求S_n．

解答：解：（I）由條件得，an+1=

an

3an+1

．
∴

1

an+1

=

1

an

+3⇒

1

an+1

-

1

an

=3．
∴數(shù)列{

1

an

}是首項為

1

a1

=1，公差d=3的等差數(shù)列．
∴

1

an

=1+（n-1）×3=3n-2．
故a_n=

1

3n-2

．
（II）∵a_na_n+1=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

）．
∴S_n═a₁a₂+a₂a₃+..a_na_n+1
=

1

3

[（1-

1

4

）+（

1

4

-

1

7

）+…+（

1

3n-2

-

1

3n+1

）]
=

1

3

（1-

1

3n+1

）=

n

3n+1

．

點評：本題第二問主要考查了數(shù)列求和的裂項相消法．裂項相消法一般適用于一數(shù)列的通項是一分式形式且分子為常數(shù)，而分母是某一等差數(shù)列相鄰兩項的乘積組成．