定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)滿足對?x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且當(dāng)x∈[2,3]時(shí),f(x)=-2x2+12x-18,若函數(shù)y=f(x)-loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是(  )
分析:根據(jù)定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)滿足對?x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),可以令x=-1,求出f(1),再求出函數(shù)f(x)的周期為2,當(dāng)x∈[2,3]時(shí),f(x)=-2x2+12x-18,畫出圖形,根據(jù)函數(shù)y=f(x)-loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三個(gè)零點(diǎn),利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解;
解答:解:因?yàn)?f(x+2)=f(x)-f(1),且f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)
令x=-1 所以 f(-1+2)=f(-1)-f(1),f(-1)=f(1)
即 f(1)=0 則有,f(x+2)=f(x)
f(x)是周期為2的偶函數(shù),
當(dāng)x∈[2,3]時(shí),f(x)=-2x2+12x-18=-2(x-3)2
圖象為開口向下,頂點(diǎn)為(3,0)的拋物線
∵函數(shù)y=f(x)-loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三個(gè)零點(diǎn),
∵f(x)≤0,∴g(x)≤0,可得a<1,
要使函數(shù)y=f(x)-loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三個(gè)零點(diǎn),
令g(x)=loga(|x|+1),

如圖要求g(2)>f(2),可得
就必須有 loga(2+1)>f(2)=-2,
∴可得loga3>-2,∴3<
1
a2
,解得-
3
3
<a<
3
3
又a>0,
∴0<a<
3
3
,
故選A;
點(diǎn)評:此題主要考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用,解題的過程中用到了數(shù)形結(jié)合的方法,這也是高考?嫉臒狳c(diǎn)問題,此題是一道中檔題;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),且f(
1
2
)=0
,則不等式f(log4x)>0的解集是
( 。
A、x|x>2
B、{x|0<x<
1
2
}
C、{x|0<x<
1
2
或x>2}
D、{x|
1
2
<x<1或x>2}

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定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)滿足對?∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且當(dāng)x∈[2,3]時(shí),f(x)=-2x2+12x-18,若方程f(x)=loga(x+1)在(0,+∞)上恰有三個(gè)不同的根,則a的取值范圍是(  )

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(2013•鷹潭一模)定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)滿足對?x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且當(dāng)x∈[2,3]時(shí),f(x)=-2x2+12x-18,若函數(shù)y=f(x)-loga(|x|+1)在(0,+∞)上至多三個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),且f(
1
2
)=0,則不等式f(log2x)>0的解是
(0,
2
2
)∪(
2
,+∞)
(0,
2
2
)∪(
2
,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•順義區(qū)一模)已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)在(-∞,0]上是減函數(shù),且f(
12
)=2,則不等式f(2x)>2的解集為
(-1,+∞)
(-1,+∞)

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