橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距為2，且過點(
2
，0)，已知F為橢圓的右焦點，A、B為橢圓上的兩動點，直線l：x=2與x軸交于點G．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若動點A、B、G三點共直線l'，試求當△AOB的面積最大時直線l'的方程．
分析：（1）由題意可知a=
2
，c=1，從而b2=a2-c2=1，故可求橢圓的方程；
（2）設過點G的直線方程為x=my+2，代入橢圓方程
x2
2
+y2=1，計算原點O到直線x=my+2的距離為
2
m2+1
，|AB|的長，表示出△AOB的面積，再換元，利用基本不等式求△AOB的面積最大，從而可求直線l'的方程．
解答：解：（1）由題意可知a=
2
，c=1，
從而b2=a2-c2=1，所以橢圓的方程為
x2
2
+y2=1．
（2）設過點G的直線方程為x=my+2，代入橢圓方程
x2
2
+y2=1，
得（m2+2）y2+4my+2=0（*）
設A（x1，y1）、B（x2，y2），則有y1+y2=-
4m
m2+2
，y1y2=
2
m2+2
，
∴|AB|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
m2+1
(y1+y2)2-4y1y2
=
2
2
•
(m2+1)(m2-2)
m2+2

由于原點O到直線x=my+2的距離為
2
m2+1
，
∴S△AOB=
1
2
×
2
2
•
(m2+1)(m2-2)
m2+2
×
2
m2+1
=2
2
•
m2-2
(m2+2)2

令m2-2=t，則由（*）式知△＞0，
∴m2-2＞0，故t＞0．
∴S△AOB=2
2
•
t
(t+4)2
=2
2
•
t
t2+8t+16
=2
2
•
1
t+
16
t
+8
≤2
2
•
1
2
16
+8
=
2
2
，當且僅當t=
16
t
，即t=4是等號成立，此時m2=6．
∴m=±
6
時，△AOB面積最大，此時直線l的方程為x=±
6
y+2．
點評：本題以橢圓的性質為載體，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查基本不等式的運用，（2）問表示出三角形的面積，轉化為利用基本不等式求解是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一條斜率為1的直線l與離心率e=
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）交于P、Q兩點，直線l與y軸交于點R，且
.
OP
•
.
OQ
=-3，
.
PR
=3
.
RQ
，求直線l和橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

直角坐標系xoy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別是A1，A2，上、下頂點為B2，B1，點P（
3
5
a，m）（m＞0）是橢圓C上一點，PO⊥A2B2，直線PO分別交A1B1、A2B2于點M、N．
（1）求橢圓離心率；
（2）若MN=
4
21
7
，求橢圓C的方程；
（3）在（2）的條件下，設R點是橢圓C上位于第一象限內的點，F(xiàn)1、F2是橢圓C的左、右焦點，RQ平分∠F1RF2且與y軸交于點Q，求點Q縱坐標的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
2
，過橢圓C上一點P（2，1）作傾斜角互補的兩條直線，分別與橢圓交于點A、B，直線AB與x軸交于點M，與y軸負半軸交于點N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左焦點為F1（-1，0），右焦點為F2（1，0），短軸兩個端點為A、B．與x軸不垂直的直線l與橢圓C交于不同的兩點M、N，記直線AM、AN的斜率分別為k1、k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證直線l與y軸相交于定點，并求出定點坐標．
（3）當弦MN的中點P落在△MF1F2內（包括邊界）時，求直線l的斜率的取值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點的坐標分別為A（-2，0），B（2，0），離心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）設橢圓的兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，若直線l：y=k（x-1）（k≠0）與橢圓交于M、N兩點，證明直線AM與直線BN的交點在直線x=4上．

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