Question

一條直線l被兩條直線4x+y+6=0和3x-5y-6=0截得的線段的中點(diǎn)恰好是坐標(biāo)原點(diǎn),求直線l的方程.

Answer 1

思路分析:設(shè)直線l的方程為y=kx,與已知的兩直線的交點(diǎn)設(shè)為P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂),把x₁、x₂用k表示,由x₁+x₂=0,解出k的值即可.

解法一:當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí),設(shè)l的方程為y=kx,且l與已知兩直線的交點(diǎn)分別為P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂),

則

因?yàn)镺是P₁P₂的中點(diǎn),所以x₁+x₂=0,

即=0,解得k=.

當(dāng)斜率k不存在時(shí),直線l是y軸,它和兩條已知直線的交點(diǎn)分別是(0,-6)和(0,),顯然不滿足中點(diǎn)是原點(diǎn)的條件.

所以所求的直線方程為y=x.

解法二:設(shè)過原點(diǎn)的直線l交已知兩直線分別于點(diǎn)P₁、P₂,且O為P₁、P₂的中點(diǎn),

所以P₁與P₂關(guān)于原點(diǎn)對稱.

若設(shè)P₁(x₀,y₀),則P₂(-x₀,-y₀),

所以

（1）+（2 ）得x₀+6y₀=0.

所以點(diǎn)P₁(x₀,y₀)、P₂(-x₀,-y₀)都滿足方程x+6y=0.

因?yàn)檫^兩點(diǎn)的直線有且只有一條,且該直線過原點(diǎn),

所以所求直線l的方程即為y=x.

  綠色通道:與兩直線交點(diǎn)有關(guān)的直線方程問題,用一般式較其他形式方便,另外注意解析幾何中與交點(diǎn)有關(guān)的問題,常采用設(shè)點(diǎn)而不求點(diǎn)的方法,設(shè)而不求是解析幾何中常用的方法.