Question

已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）

（1）求的最小值；

（2）若對于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）的最小值為1；（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）先對求導(dǎo)，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出函數(shù)的最小值為1；

（2）不等式恒成立，變形為，構(gòu)造新函數(shù)；求得的最小值，

從而實(shí)數(shù)的取值范圍是．

試題解析：（1）的導(dǎo)函數(shù)，令，解得；

令，解得.

從而在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.

所以，當(dāng)時，取得最小值1. 6分

（2）因?yàn)椴坏仁?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719463443457752/SYS201411171946509977408115_DA/SYS201411171946509977408115_DA.023.png">的解集為，且，

所以對于任意，不等式恒成立.

由，得.

當(dāng)時，上述不等式顯然成立，故只需考慮的情況.

將變形為.

令，則的導(dǎo)函數(shù)，

令，解得；令，解得.

從而在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.

所以，當(dāng)時，取得最小值，

從而實(shí)數(shù)的取值范圍是. 13分

考點(diǎn)：導(dǎo)函數(shù)的綜合應(yīng)用、函數(shù)與方程思想.