已知i，m，n是正整數(shù)，且1< i ≤ m < n．

（1）證明 ；

（2）證明 (1+ m )n > (1 + n )m．

 

答案：
解析：

證明：1˚ 當(dāng)n =2時(shí)，左邊=，右邊=，不等式成立．

2˚ 假設(shè)當(dāng)n = k（k≥2）時(shí)不等式成立：

．

則 

∵

，

∴ ．

由此可得 ，說明當(dāng)n = k+1時(shí)不等式仍成立．

由1˚、2˚可知不等式對一切不小于2的自然數(shù)n都成立．

評述  此題采用數(shù)學(xué)歸納法證明是很自然的、有效的．但數(shù)學(xué)歸納法并不是惟一的證法．采用放縮變換也可證明此不等式．

∵ n∈N，n≥2，

∴

．

 


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知i，m，n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n．
（1）證明niPmi＜miPni；
（2）證明（1+m）n＞（1+n）m．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（01全國卷理） (12分)

    已知i，m，n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n．

    (Ⅰ)證明；

(Ⅱ)證明(1＋m) n＞ (1＋n) m．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n.

(1)證明：niA＜miA；(2)證明：(1+m)n＞(1+n)m

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已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n.

(1)證明: niA＜miA 

(2)證明: (1+m)n＞(1+n)m

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已知i，m，n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n．
（1）證明niPmi＜miPni；
（2）證明（1+m）n＞（1+n）m．

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