Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2x-x²．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式．
（2）當(dāng)x∈[-

3

2

，3]時(shí)，求f（x）的最大值與最小值．并求出相應(yīng)x的值．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)f（-x）=-f（x），求出x＜0時(shí)對(duì)應(yīng)的解析式以及f（0）=0即可求出函數(shù)y=f（x）的解析式．
（2）先根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求出x＞0時(shí)的最大值與最小值；再結(jié)合奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)求出x＜0時(shí)的最大值與最小值；綜合即可得到答案．

解答：解：（1）y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)⇒f（-x）=-f（x）⇒f（0）=0．
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0時(shí)，
所以：f（-x）=2（-x）-（-x）²=-2x-x²=-f（x）
即x≤0時(shí)f（x）=2x+x²
∴f(x)=

2x-x2，x＞0. 2x+x2，x≤0.

（2）∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2x-x²．對(duì)稱(chēng)軸為1，開(kāi)口向下．
所以函數(shù)在[0，1]上遞增，在[1，3]上遞減；
當(dāng)x=1時(shí)有最大值1，當(dāng)x=3時(shí)有最小值-3．
又因?yàn)槠婧瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
所以當(dāng)x∈[-

3

2

，0）時(shí)，在[-

3

2

，-1]上遞減，在[-1，0]上遞增；
當(dāng)x=0時(shí)有最大值0，當(dāng)x=-1時(shí)有最小值-1．
綜上得：當(dāng)x∈[-

3

2

，3]時(shí)，在x=1時(shí)有最大值1，當(dāng)x=3時(shí)有最小值-3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．偶函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．