Question

已知函數(shù)．
（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若，試解答下列兩小題．
（i）若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（ii）若是兩個不相等的正數(shù)，且以，求證：．

Answer 1

（I）①當時，遞增區(qū)間是；②當時，遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為；（Ⅱ）（i）實數(shù)的取值范圍為；（ii）詳見試題解析．

試題分析：（I）首先求函數(shù)的定義域，再求的導數(shù)，令下面分和討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）（i）先由已知條件，將問題轉化為設求函數(shù)的導數(shù)：，由此討論可得在上為減函數(shù)，從而求得實數(shù)的取值范圍；（ii）先根據(jù)已知條件把化簡為，只要證設，構造函數(shù)利用導數(shù)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，最終證得．
試題解析：（I）解：函數(shù)的定義域為令
①當時，在上恒成立，∴遞增區(qū)間是；
②當時，由可得，∴遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為．                                    （6分）
（Ⅱ）（i）解：設則．
∵在上恒成立，∴在上為減函數(shù)，∴實數(shù)的取值范圍為．                              （10分）
（ii）證明：
．設，則．
令，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
．               （15分）