對(duì)于定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/94/5/1kxho2.gif" style="vertical-align:middle;" />的函數(shù),若有常數(shù)M,使得對(duì)任意的,存在唯一的滿足等式,則稱M為函數(shù)f (x)的“均值”.
(1)判斷1是否為函數(shù)的“均值”,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)若函數(shù)為常數(shù))存在“均值”,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若函數(shù)是單調(diào)函數(shù),且其值域?yàn)閰^(qū)間I.試探究函數(shù)的“均值”情況(是否存在、個(gè)數(shù)、大小等)與區(qū)間I之間的關(guān)系,寫出你的結(jié)論(不必證明).
說(shuō)明:對(duì)于(3),將根據(jù)結(jié)論的完整性與一般性程度給予不同的評(píng)分

解:(1)對(duì)任意的,有,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),有,     
故存在唯一,滿足,             ……………………2分
所以1是函數(shù)的“均值”.           ……………………4分
(另法:對(duì)任意的,有,令,
,且,     
,且,則有,可得,
故存在唯一,滿足,             ……………………2分
所以1是函數(shù)的“均值”.           ……………………4分)
(2)當(dāng)時(shí),存在“均值”,且“均值”為;…………5分
當(dāng)時(shí),由存在均值,可知對(duì)任意的,
都有唯一的與之對(duì)應(yīng),從而有單調(diào),
故有,解得,        ……………………9分
綜上,a的取值范圍是.           ……………………10分
(另法:分四種情形進(jìn)行討論)
(3)①當(dāng)I 時(shí),函數(shù)存在唯一的“均值”.
這時(shí)函數(shù)的“均值”為;                     …………………12分
②當(dāng)I為時(shí),函數(shù)存在無(wú)數(shù)多個(gè)“均值”.
這時(shí)任意實(shí)數(shù)均為函數(shù)的“均值”;            ……………………14分
③當(dāng)I 時(shí),
函數(shù)不存在“均值”.                 ……………………16分
[評(píng)分說(shuō)明:若三種情況討論完整且正確,但未用等價(jià)形式進(jìn)行敘述,至多得6分;若三種情況討論不完整,且未用等價(jià)形式敘述,至多得5分]
①當(dāng)且僅當(dāng)I形如、其中之一時(shí),函數(shù)存在唯一的“均值”.
這時(shí)函數(shù)的“均值”為;                    ……………………13分
②當(dāng)且僅當(dāng)I為時(shí),函數(shù)存在無(wú)數(shù)多個(gè)“均值”.
這時(shí)任意實(shí)數(shù)均為函數(shù)的“均值”;         

解析

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于定義域?yàn)?img width=18 height=18 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/109/87309.gif">的函數(shù),若同時(shí)滿足:①內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減;②存在區(qū)間,使上的值域?yàn)?img width=38 height=22 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/116/87316.gif">;那么把函數(shù))叫做閉函數(shù).

(1) 求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間;

(2) 若是閉函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(本題滿分14分)定義:對(duì)于函數(shù),.若對(duì)定義域內(nèi)的恒成立,則稱函數(shù)函數(shù).(1)請(qǐng)舉出一個(gè)定義域?yàn)?img width=53 height=27 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/120/241520.gif">的函數(shù),并說(shuō)明理由;(2)對(duì)于定義域?yàn)?img width=47 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/122/241522.gif">的函數(shù),求證:對(duì)于定義域內(nèi)的任意正數(shù),均有;

(3)對(duì)于值域函數(shù),求證:.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆廣東省高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

對(duì)于定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013101223370428516510/SYS201310122337272876847093_ST.files/image001.png">的函數(shù),若存在區(qū)間,使得則稱區(qū)間M為函數(shù)的“等值區(qū)間”.給出下列三個(gè)函數(shù):

;  ②;   ③

則存在“等值區(qū)間”的函數(shù)的個(gè)數(shù)是___________.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年上海市崇明縣高三第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué) 題型:填空題

定義:對(duì)于定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052412405896874207/SYS201205241242016875414740_ST.files/image001.png">的函數(shù),如果存在,使得成立,稱函數(shù)上是“”函數(shù)。已知下列函數(shù):①;、;③();、,其中屬于“”函數(shù)的序號(hào)是           .(寫出所有滿足要求的函數(shù)的序號(hào))

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案