Question

已知當(dāng)x=5時，二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c取得最小值，等差數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=f（n），a₂=-7．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且bn=

an

2n

，證明Tn≤-

9

2

．

Answer 1

分析：（I）利用二次函數(shù)在對稱軸處取得最小值列出關(guān)于a，b的等式；利用數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系得到通項的形式，利用已知條件a₂=-7求出參數(shù)a的值，進(jìn)一步得到數(shù)列{a_n}的通項公式．
（II）求出數(shù)列{b_n}的通項，根據(jù)其通項是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積構(gòu)成，所以利用錯位相減法求出前n項和
T_n，分n≤4和n＞4進(jìn)行證明．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=a+b+c，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2an+b-a，
又a₁適合上式，得2a+b-a=a+b+c，∴c=0．
由已知a2=4a+b-a=3a+b=-7，-

b

2a

=5，
解方程組

3a+b=-7 - b 2a =5

得

a=1 b=-10

∴a_n=2n-11．
（Ⅱ）bn=

2n-11

2n

，
∴Tn=

-9

2

+

-7

22

+…+

2n-11

2n

①

1

2

Tn=…

-9

22

+…+

2n-13

2n

+

2n-11

2n+1

②
①-②得

1

2

Tn=-

9

2

+

2

22

+…+

2

2n

-

2n-11

2n+1

=-

9

2

+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-11

2n+1

=-

7

2

-

1

2n-1

-

2n-11

2n+1

，
∴Tn=-7-

2n-7

2n

．
則T1=-

9

2

，T2=-

9

2

-

7

2

＜-

9

2

，T3=-

9

2

-

7

2

-

5

2

＜-

9

2

，
當(dāng)n≥4時，

2n-7

2n

＞0，∴Tn=-7-

2n-7

2n

＜-7＜-

9

2

，
綜上，得Tn≤-

9

2

．

點評：求數(shù)列的前n項和應(yīng)該先求出數(shù)列的通項，根據(jù)數(shù)列通項的特點選擇合適的求和方法．常見的求和方法有：公式法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、分組法．