Question

如圖在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，E是DD₁的中點，
（1）求證：BD₁∥平面ACE
（2）求三棱錐E-ACD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連結AC，BD，交于點O，連結OE，由已知得OE∥BD₁，由此能證明BD₁∥平面ACE．
（2）由已知得DE⊥平面ACD，且DE=1，S△ACD=

1

2

×2×2=2，由此能求出三棱錐E-ACD的體積．

解答： （1）證明：連結AC，BD，交于點O，連結OE，
∵ABCD是正方體，∴O是BD中點，
∵E是DD₁的中點，∴OE∥BD₁，
∵BD₁不包含于平面ACE，OE?平面ACE，
∴BD₁∥平面ACE．
（2）解：∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，E是DD₁的中點，
∴DE⊥平面ACD，且DE=1，S△ACD=

1

2

×2×2=2，
∴三棱錐E-ACD的體積：
V=

1

3

S△ACD•DE=

1

3

×2×1=

2

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的合理運用．