Question

已知x=1是函數(shù)f（x）=

(x2+ax)ex，x＞0 bx  ，x≤0

的極值點(diǎn)．
（I）求a的值；
（II）當(dāng)b=1時，討論f（x）的單調(diào)性；
（III）當(dāng)b∈R時，函數(shù)t=f（x）-m有2個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意可得：f′（x）=[x²+（a+2）x+a]e^x，結(jié)合題意可得：f′（1）=0，即可求出a的數(shù)值．
（II）當(dāng)x≤0時，f（x）=x，得f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減；當(dāng)x＞0時，f′(x)=[x2+

1

2

x-

3

2

] ex=(x-1)(x+

3

2

)e2，得分析出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與0的大小，進(jìn)而結(jié)合導(dǎo)數(shù)的意義可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（III）首先把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個圖象的交點(diǎn)問題，再根據(jù)（II）可得x、f′（x）、f（x）的關(guān)系，即可分析出函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的極值，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的大致圖象單調(diào)答案．

解答：解：（I）當(dāng)x＞0時，f（x）=（x²+ax）e^x，
所以f′（x）=[x²+（a+2）x+a]e^x．
又因?yàn)閤=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，
所以f′（1）=0，
解得a= -

3

2

．
（II）當(dāng)x≤0時，f（x）=x，
所以根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得：f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞0時，f（x）=(x2-

3

2

x)ex，所以f′(x)=[x2+

1

2

x-

3

2

] ex=(x-1)(x+

3

2

)e2．
所以當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＜0，所以函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減．
當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，所以函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
即b=1時，f（x）的增區(qū)間為（-∞，0），（1，+∞）；減區(qū)間為（0，1）．
（III）由（II）可得下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	＜	0	＞0
f（x）	減	極小值	增

則fmin(x)=f(1)=-

1

2

e．
要使函數(shù)f（x）-m有兩個零點(diǎn)，則函數(shù)y=f（x）的圖象與y=m的圖象有兩個交點(diǎn)，結(jié)合f（x）的大致圖象可得：
當(dāng)b＞0時，m=0或者m=-

1

2

e；當(dāng)b=0時，m∈（-

1

2

e，0）；當(dāng)b＜0時，m∈（-

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0、考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，并能利用函數(shù)的大致題型解決函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)問題，此題屬于中檔題型．