Question

設f(x)是(-∞,+∞)上的奇函數(shù)，對任意實數(shù)x，都有f(x+2)=-f(x),當-1≤x≤1時，f(x)=x³.

（1）試證：x=1是函數(shù)f(x)的一條對稱軸；

（2）證明函數(shù)f(x)是以4為周期的函數(shù)，并求x∈［1,5］時，f(x)的解析式.

Answer 1

解;（1）因為f(x)為奇函數(shù)，∴-f(x)=f(-x)，又f(x+2)=f(-x)， 

∴f［(x-1)+2］=f［-(x-1)］.

∴f(x+1)=f(1-x)，

∴x=1是函數(shù)f(x)的一條對稱軸.

（2）∵f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，

∴f(x)是以4為周期的函數(shù).

又-1≤x≤1時，f(x)=x³.

當x∈［1,3］,

∴x-2∈［-1,1］,

∴f(x)=f(x-2+2)=-f(x-2)=-(x-2)³，

當x∈［3,5］,

∴x-4∈［-1,1］,

∴f(x)=f(x-4+4)=f(x-4)=(x-4)³;

∴x∈［1,5］時，f(x)的解析式為f(x)=