Question

（2012•泰安一模）在三棱錐P-ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PB=2，BC=2

3

，E、G分別為PC、PA的中點(diǎn)．
（I）求證：平面BCG⊥平面PAC；
（II）在線段AC上是否存在一點(diǎn)N，使PN⊥BE？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由題意可證BC⊥平面PAB，從而證得PA⊥BC，又Rt△PAB為等腰直角三角形，故BG⊥PA，從而得PA⊥平面BCG，結(jié)論可證；
（2）以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，BP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可求得E點(diǎn)，N點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得

BE

=（0，

3

2

，1），

PN

=（x₀，

3

-

3

2

x₀，-2），由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

BE

•

PN

=0即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）∵PB⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥PB，
又AB⊥BC，AB∩BP=B，
∴BC⊥平面PAB，PA?平面PAB，
∴BC⊥PA．①
又AB=PB=2，△PAB為等腰直角三角形，G為斜邊PA的中點(diǎn)，
∴BG⊥PA，②又BG∩BC=B，
∴PA⊥平面BCG，PA?平面PAC，
∴平面BCG⊥平面PAC；
（Ⅱ）以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，BP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），C（0，2

3

，0），P（0，0，2），E（0，

3

，1），
設(shè)存在點(diǎn)N∈AC，使PN⊥BE，點(diǎn)N的坐標(biāo)設(shè)為：N（x₀，y₀，0）
則：得

BE

=（0，

3

，1），

PN

=（x₀，y₀，-2）
由相似三角形得：

2-x0

|AB|

=

y0

|BC|

，即

2-x0

2

=

y0

2 3

，
∴y₀=2

3

-

3

x₀．
∴

PN

=（x₀，2

3

-

3

x₀，-2）
又PN⊥BE，
∴

BE

•

PN

=0．
∴0×x₀+

3

×（2

3

-

3

x₀）+1×（-2）=0，
∴x₀=

4

3

∈[0，2]
故存在點(diǎn)N∈AC，使PN⊥BE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，突出考查向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．