Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為1，點M在側棱BB₁上．
（1）若BM=，求異面直線AM與BC所成的角；
（2）若AB₁⊥BC₁，求棱柱的高BB₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用異面直線的定義，通過做平行線將異面直線所成的角轉化為相交直線所成的角問題，通過解三角形求出角的大�。�
（2）利用平面垂直的性質得到AF⊥平面BB₁C₁C，利用三垂線定理及逆定理得到CB₁⊥BC₁，得到側面BB₁C₁C為菱形．
解答：解：（1）過A在平面ABC內作AE∥CB且AE=CB連接EM∠EAM為異面直線AM和BC所成的角或其補角，----（3分）
在△AEM中，AM=EM，AE=1，
co∠EAM∠EAM--------------（6分）
（2）取BC中點為F，則AF⊥BC，又平面ABC⊥平面BB₁C₁C，
∴AF⊥平面BB₁C₁C，AB₁在平面BB₁C₁C上的射影為B₁F，
∴由已知AB₁⊥BC₁及三垂線定理的逆定理得FB₁⊥BC₁-------------------------（9分）
設BB₁=x
在平面B₁BCC₁中，以B為坐標原點，BC 為x軸建立直角坐標系，則
B（0，0），F（，0），B₁（0，x），C₁（1，x）
∵
∴
∴
∴-------------------------（12分）
點評：解決異面直線所成的角，常通過作平行線轉化為相交直線所成的角；有時也常利用向量來解決．注意異面線所成角的范圍．