Question

已知f（x）=tx³-2x²+1．
（I）若f′（x）≥0對任意t∈[-1，1]恒成立，求x的取值范圍；
（II）求t=1，求f（x）在區(qū)間[a，a+3]（a＜0）上的最大值h（a）．

Answer 1

解：（I）f′（x）=3tx²-4x，令g（t）=3x²t-4x，
則有，
∴，
解得．
∴x的取值范圍是．
（II）f（x）=x³-2x²+1，
f′（x）=3x²-4x=x（3x-4），
令f′（x）＞0，得x＜0或x＞．
令f′（x）＜0，得0，
∴f（x）在（-∞，0）和（）為遞增函數(shù)；
在（0，）為遞減函數(shù)．
∵f（0）=1，，
令f（x）=1，得x=0或x=2．
①當(dāng)a+3＜0，即a＜-3時(shí)，f（x）在[a，a+3]單調(diào)遞增．
∴h（a）=f（a+3）=a³+7a²+15a+10．
②當(dāng)0≤a+3≤2，即-3≤a≤-1時(shí)，h（a）=f（0）=1．
③當(dāng)a+3＞2，即0＞a＞-1時(shí)，
h（a）=f（a+3）=a³+7a²+15a+10．
∴．
分析：（I）f′（x）=3tx²-4x，令g（t）=3x²t-4x，由，能求出x的取值范圍．
（II）由f（x）=x³-2x²+1，知f′（x）=3x²-4x=x（3x-4），f′（x）＞0，得f（x）在（-∞，0）和（）為遞增函數(shù)；令f′（x）＜0，得f（x）在（0，）為遞減函數(shù)．由此進(jìn)行分類討論，能求出f（x）在區(qū)間[a，a+3]（a＜0）上的最大值h（a）．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)在求最大值和求最小值時(shí)的實(shí)際應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是知識(shí)體系不牢固．解題時(shí)要注意分類討論思想的靈活運(yùn)用．