Question

已知函數(shù)f(x)=cos2(x+

π

12

)，g(x)=1+

1

2

sin2x．
（Ⅰ）設x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸，求g（x₀）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)f（x）根據二倍角公式進行化簡，再由x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸求出x₀的值后代入到函數(shù)g（x）中，對k分奇偶數(shù)進行討論求值．
（2）將函數(shù)f（x）、g（x）的解析式代入到h（x）中化簡整理成y=Asin（wx+ρ）+b的形式，得到h（x）=

1

2

sin(2x+

π

3

)+

3

2

，然后令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

求出x的范圍即可．

解答：解：（I）由題設知f(x)=

1

2

[1+cos(2x+

π

6

)]．
因為x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸，所以2x0+

π

6

=kπ，
即2x0=kπ-

π

6

（k∈Z）．
所以g(x0)=1+

1

2

sin2x0=1+

1

2

sin(kπ-

π

6

)．
當k為偶數(shù)時，g(x0)=1+

1

2

sin(-

π

6

)=1-

1

4

=

3

4

，
當k為奇數(shù)時，g(x0)=1+

1

2

sin

π

6

=1+

1

4

=

5

4

．

（II）h(x)=f(x)+g(x)=

1

2

[1+cos(2x+

π

6

)]+1+

1

2

sin2x
=

1

2

[cos(2x+

π

6

)+sin2x]+

3

2

=

1

2

(

3

2

cos2x+

1

2

sin2x)+

3

2

=

1

2

sin(2x+

π

3

)+

3

2

．
當2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，即kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z）時，
函數(shù)h(x)=

1

2

sin(2x+

π

3

)+

3

2

是增函數(shù)，
故函數(shù)h（x）的單調遞增區(qū)間是[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的基本性質--單調性、對稱性．考查二倍角公式的運用．