Question

以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中
①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，|

PA

|-|

PB

|=k，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
②設(shè)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)點(diǎn)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；
③方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y²=1有相同的焦點(diǎn)．
其中真命題的序號(hào)為

 

（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：①不正確．若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個(gè)定點(diǎn)間的距離；②不正確．根據(jù)平行四邊形法則，易得P是AB的中點(diǎn)．由此可知P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓；③正確．方程2x²-5x+2=0的兩根

1

2

和2可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；④正確．雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y²=1焦點(diǎn)坐標(biāo)都是（±

34

，0）．

解答：解：①不正確．若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個(gè)定點(diǎn)間的距離．當(dāng)|k|大于A、B為兩個(gè)定點(diǎn)間的距離時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不是雙曲線．
②不正確．根據(jù)平行四邊形法則，易得P是AB的中點(diǎn)．根據(jù)垂徑定理，圓心與弦的中點(diǎn)連線垂直于這條弦設(shè)圓心為C，那么有CP⊥AB
即∠CPB恒為直角．由于CA是圓的半徑，是一條定長(zhǎng)，而∠CPB恒為直角．也就是說(shuō)，P在以CP為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∠CPB為直徑所對(duì)的圓周角．所以P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓．
③正確．方程2x²-5x+2=0的兩根分別為

1

2

和2，

1

2

和2可分別作為橢圓和雙曲線的離心率．
④正確．雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y²=1焦點(diǎn)坐標(biāo)都是（±

34

，0）．
答案：③④

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓和雙曲線的基本性質(zhì)，解題時(shí)要準(zhǔn)確理解概念．